ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда.

Праздничное предисловие автора к русскому изданию книги «Гёдель, Эшер, Бах». Обзор. Список иллюстраций. Благодарность. ЧАСТЬ I. Интродукция: музыко-логическое приношение. Бах. RICERCAR. Каноны и фуги. Естественно растущий канон. Эшер. Гёдель. Математическая логика: краткий обзор. Изгнание Странных Петель. Последовательность, полнота, и программа Гильберта. Баббидж, компьютеры, искусственный разум... ...и Бах. «Гёдель, Эшер, Бах». Трехголосная инвенция. ГЛАВА I: Головоломка MU. Формальные системы. Теоремы, аксиомы и правила. Внутри и снаружи системы. Прыжки за пределы системы. Режим М, Режим I, Режим U. Алгоритм разрешения. Двухголосная инвенция. ГЛАВА II: Содержание и форма в математике. Система «pr». Разрешающий алгоритм. Снизу вверх vs. сверху вниз. Изоморфизмы порождают смысл. Интерпретации значащие и незначащие. Активные и пассивные значения. Double-entendre! Формальные системы и действительность. Математика и манипуляция символами. Основные законы арифметики. Идеальные числа. Доказательство Эвклида. Минуя бесконечность. Соната для Ахилла соло. ГЛАВА III: Рисунок и фон. Простые и составные числа. Система ur. Уловление Составности. «Нелегальная» характеристика простых чисел. Рисунок и фон. Рисунок и фон в музыке. Рекурсивно счетные и рекурсивные множества. Простые числа в качестве рисунка, а не фона. Акростиконтрапунктус. ГЛАВА IV: Непротиворечивость, полнота и геометрия. Смысл явный и неявный. Явный смысл «Акростиконтрапунктуса». Неявные значения «Акростиконтрапунктуса». Соответствие между «Акростиконтрапунктусом» и Теоремой Гёделя. «Искусство фуги». Проблемы, связанные с Гёделевским результатом. Модифицированная система pr и противоречивость. Снова непротиворечивость. История эвклидовой геометрии. Многоликий Неэвклид. Неопределяемые понятия. Возможность множественных интерпретаций. Разные виды непротиворечивости. Гипотетические миры и непротиворечивость. Включение одной формальной системы в другую. Уровни стабильности в зрительном восприятии. Одинакова ли математика во всех возможных мирах? Является ли теория чисел одинаковой во всех возможных мирах? Полнота. Как интерпретация может создать или разрушить полноту. Неполнота формализованной теории чисел. Маленький гармонический лабиринт. ГЛАВА V: Рекурсивные структуры и процессы. Что такое рекурсия? Проталкивание, выталкивание и стек. Стеки в музыке. Рекурсия в языке. Схемы рекурсивных переходов. «Спуск на дно» и гетерархии. Расширение узлов. Диаграмма G и рекурсивные ряды. Хаотическая последовательность. Два удивительных рекурсивных графика. Рекурсия на низшем уровне материи. Копии и схожесть. Программирование и рекурсия: модульность, петли, процедуры. Рекурсия в шахматных программах. Рекурсия и непредсказуемость. Канон с интервальным увеличением. ГЛАВА VI: Местонахождение значения. Когда одна и та же вещь не не похожа сама на себя? Носители информации и обнаружители информации. Генотип и фенотип. Изоморфизмы экзотические и прозаические. Проигрыватели-автоматы и пусковые механизмы. ДНК и необходимость химического контекста. Фантастический НЛО. Уровни понимания сообщения. Воображаемый космопейзаж. Героические расшифровыватели. Три уровня любого сообщения. Апериодические кристаллы Шредингера. Языки для трех уровней. Теория значения «музыкальный автомат». Против теории «музыкального автомата». Значение врожденно, если разум естественен. Земной шовинизм. Две пластинки в пространстве. Снова Бах против Кейджа. Насколько универсально сообщение, содержащееся в ДНК? Хроматическая фантазия и фига. ГЛАВА VII: Исчисление Высказываний. Слова и символы. Алфавит и первое правило исчисления высказываний. Правильно сформированные строчки. Еще правила вывода. Правило фантазии. Рекурсия и правило фантазии. Перевернутое правило фантазии. Интерпретация символов. Полный список правил. Объяснение правил. Игра с системой. Частичная интерпретация. Топор Ганто. Имеется ли разрешающий алгоритм для теорем? Откуда мы знаем, что система непротиворечива? Снова Кэрролловский Диалог. Кратчайший путь и выведенные правила. Формализация высших уровней. Размышления о сильных и слабых сторонах системы. Доказательства и деривации. Подход к разрешению противоречий. Крабий канон. ГЛАВА VIII: Типографская теория чисел. «Крабий Канон» и косвенная автореференция. Что мы хотим выразить в ТТЧ. Символы чисел. Переменные и термины. Атомы и символы высказываний. Свободные переменные и кванторы. Примеры перевода высказываний. Трюки ремесла. Несколько задачек на перевод. Как отличить истинное от ложного? Правила для правильно-сформированности. Еще несколько упражнений на перевод. Нетипографская система. Пять аксиом и первое правило ТТЧ. Пять постулатов Пеано. Новые правила ТТЧ: спецификация и обобщение. Квантор существования. Правила равенства и следствия. Нелегальные упрощения. Почему спецификация и общность ограничены. Чего-то не хватает. ω-неполные системы и неразрешимые строчки. Неэвклидова ТТЧ. ω-противоречивость не то же самое, что просто противоречивость. Последнее правило. Длинная деривация. Напряжение и разрешение в ТТЧ. Формальные и неформальные рассуждения. Специалисты по теории чисел закрывают лавочки. Программа Гильберта. Приношение «МУ»[16]. ГЛАВА IX: Мумон и Гёдель. Что такое дзен-буддизм? Мастер дзена Мумон. Борьба дзена против дуализма. Изм, режим U и Унмон. Дзен и Лимбедламия. Эшер и дзен. Гемиола и Эшер. Сеть Индры. Мумон о МУ. От Мумона к головоломке MU. Мумон показывает нам, как решить головоломку MU. Гёделева нумерация для системы MIU. Восприятие вещей одновременно с типографской и с арифметической точки зрения. Числа, выводимые в MIU. ТТЧ помогает ответить на вопросы о выводимых числах. Дуалистическая природа МУМОНа. Коды и неявное значение. Бумеранг — Гёделева нумерация ТТЧ. Числа ТТЧ: рекурсивно счетное множество чисел. ТТЧ пытается проглотить саму себя. G: строчка, говорящая о себе самой на коде. В неполноте ТТЧ виновато существование G. Последнее слово — за Мумоном. Часть II. Прелюдия и… ГЛАВА X: Уровни описания и компьютерные системы. Уровни описания. Блоки и шахматное мастерство. Похожие уровни. Компьютерные системы. Команды и данные. Язык машины и язык ассемблера. Программы, переводящие программы. Языки высших уровней, компиляторы и интерпретаторы. Самонастройка. Уровни описания работающих программ. Микропрограммирование и операционные системы. Забота о пользователе и защита системы. Компьютеры — супергибкость или супержесткость? Как предвосхитить желания пользователя. Прогресс искусственного интеллекта — это прогресс языка. Параноик и операционная система. Граница между аппаратурой и программным обеспечением. Промежуточные уровни и погода. От смерчей к кваркам. Сверхпроводимость: «парадокс» ренормализации. «Запечатывание». Разделение на блоки и детерминизм. «Компьютеры могут делать только то, что им приказано». Два типа системы. Эпифеномены. … и Муравьиная фуга. ГЛАВА XI: Мозг и мысль. Новый взгляд на мысль. Интенсиональность и экстенсиональность. «Муравьи» мозга. Более крупные структуры мозга. Соответствие между мозгами. Загадка местоположения мозговых процессов. Определенность в обработке зрительных образов. «Клетка-бабушка»? Невральная воронка. Модули, участвующие в мышлении. Активные символы. Классы и примеры. Отделение примеров от классов. Трудность отделения символов друг от друга. Символы — программное обеспечение или аппаратура? Отделяемость разума. Можно ли изолировать один символ? Символы насекомых. Символы-классы и воображаемые миры. Интуитивные законы физики. Знание процедурное и знание декларативное. Зрительные образы. Англо-франко-германо-русская сюита. ГЛАВА XII: Разум и мысль. Может ли существовать изоморфизм между мозгами? Сравнение различных сетей семантических связей. Переводы «Jabberwocky». ФР. Удивительный поворот событий. Центральность и универсальность. Насколько мысли зависят от языка и культуры? Поездки и маршруты по разным ФР. Вояжи возможные, вероятные, и вздорные. Разные стили перевода. Сравнения между программами на высшем уровне. Сравнение высших уровней мозгов. Возможные убеждения, возможные символы. Где находится самосознание? Подсистемы. Подсистемы и общий код. Символ «Я» и сознание. Наша первая встреча с Лукасом. Ария с разнообразными вариациями. ГЛАВА XIII: Блуп, Флуп и Глуп. Самосознание и хаос. Представимость и холодильники. Топор Ганто в метаматематике. Как обнаружить порядок с помощью правильного фильтра. Основные шаги в языке Блуп. Петли и верхние границы. Условности языка Блуп. Команды ЕСЛИ и разветвление. Автоматическое создание блоков. Тесты в Блупе. Программы Блупа содержат цепи процедур. Предлагаемые упражнения. Выразимость и представимость. Примитивно-рекурсивные предикаты представлены в ТТЧ. Есть ли функции, не являющиеся примитивно-рекурсивными? Клуб Б, номера-индексы и Белые Программы. Диагональный метод. Первоначальный диагональный аргумент Кантора. Что доказывает диагональный метод? Коварная повторяемость диагонального метода. От Блупа к Флупу. Оканчивающиеся и неоканчивающиеся программы Флупа. Трюки Тьюринга. Программа-тест терминаторов была бы волшебной. Клуб Ф, числа-индексы и Зеленые Программы. Проверка на кончаемость и Красные Программы. Глуп — … … ни что иное как миф. Тезис Чёрча-Тьюринга. Терминология: общерекурсивный и частично рекурсивный. Мощь ТТЧ. Ария в ключе G. ГЛАВА XIV: О формально неразрешимых суждениях ТТЧ и родственных систем[41]. Две идеи «устрицы». Первая идея: пары доказательства. Свойство «пара-доказательности» примитивно рекурсивно … … и, следовательно, представлено в ТТЧ. Мощь пар доказательства. Замена подводит нас ко второй идее. Арифмоквайнирование. Последняя соломинка. ТТЧ выбрасывает полотенце. «Будучи арифмоквайнированным, производит нетеоремность!». Вторая теорема Гёделя. ТТЧ страдает ω-неполнотой. Два разных способа заткнуть дыру. Супернатуральные числа. У супернатуральных теорем — бесконечно длинные деривации. Супернатуральное сложение и умножение. Супернатуральные числа полезны... … но реальны ли они? Варианты геометрии и физики. Варианты теории чисел и банкиры. Варианты теории чисел и метаматематики. Десятая задача Гильберта и Черепаха. Праздничная Кантататата… ГЛАВА XV: Прыжок из системы. Более мощная формальная система. Метод Гёделя используется еще раз. Разветвление. Непополнимость. Страсти по Лукасу. Перепрыгивая измерением выше. Пределы разумных систем. Не существует рекурсивного правила для называния порядковых чисел. Другие возражения Лукасу. Выход из себя самого — современный миф. Реклама и обрамляющие приспособления. Симплицио, Салвиати, Сагредо: почему трое? Дзен и выход из системы. Благочестивые размышления курильщика табака. ГЛАВА XVI: Авто-реф и авто-реп. Явно и неявно автореферентные высказывания. Самовоспроизводящаяся программа. Что такое копия? Самовоспроизводящаяся песня. Крабо-программа. Эпименид, оседлавший Ламанш. Программа, печатающая свой собственный Гёделев номер. Гёделева автореференция. Авто-реп с увеличением. Кимов авто-реп. Что такое оригинал? Типогенетика. Цепочки, основания, энзимы. Копирующий режим и двойные спирали. Аминокислоты. Перевод и типогенетическии код. Третичная структура энзимов. Пунктуация, гены и рибосомы. Головоломка: типогенетический авто-реп. Центральная Догма типогенетики. Странные Петли, ТТЧ и настоящая генетика. ДНК и нуклеотиды. Мессенджер РНК и Рибосомы. Аминокислоты. Рибосомы и магнитофоны. Генетический код. Третичная структура. Редукционистское объяснение функции белков. Перенос РНК и рибосомы. Пунктуация и рамка считывания. Заключение. Уровни структуры и значения в белках и в музыке. Полирибосомы и двухтретичные каноны. Что было в начале — рибосома или белок? Функция белка. Нужда в достаточно сильной автономной системе. Как самовоспроизводится ДНК. Сравнение метода самовоспроизводства ДНК с квайнированием. Уровни значения в ДНК. Центральная Догма. Странные Петли в Централизованной Догме. Централизованная Догма и «Акростиконтрапунктус». Кишечная палочка против ТЧ. Молекулярный Троянский конь. Узнавание, маскировка и наклеивание ярлыков. Суждения Хенкина и вирусы. Явные и неявные суждения Хенкина. Суждение Хенкина и самосборка. Две выдающиеся проблемы: Дифференциация и Морфогенезис. Прямая и обратная связи. Белки-репрессоры и индукторы. Сравнение между обратной связью и Странными Петлями. Два простых примера различия. Смешение уровней в клетке. Происхождение жизни. Магнификраб в пирожоре. ГЛАВА XVII: Чёрч, Тюринг, Тарский и другие. Формальные и неформальные системы. Интуиция и Магическая Мистификация Краба. Тезис Чёрча-Тюринга. Версия Коллективных Процессов. Шриниваса Рамануян. «Гениальные идиоты». Изоморфная Версия Тезиса Чёрча-Тюринга. Представление знаний о мире. Процессы, которые не так легко выделить. Символы редукционистской веры. Параллельный прогресс в ИИ и симуляции мозга? Красота, Краб и душа. Иррациональное и рациональное могут сосуществовать на разных уровнях. Новые доводы против Лукаса. Фундамент ИИ. Теорема Чёрча. Теорема Тарского. Магиификраб невозможен. Два вида формы. Значение вытекает из отношения к познавательным структурам. Красота, Истина и Форма. Нейронный субстрат парадокса Эпименида. ШРДЛУ. ГЛАВА XVIII: Искусственный интеллект: взгляд в прошлое. Тюринг. Тест Тюринга. Тюринг предвидит возражения. «Парри встречается с Доктором». Краткая история ИИ. Машинный перевод. Компьютерные шахматы. Шашечная программа Самуэля. Какую программу можно назвать оригинальной? Кто сочиняет компьютерную музыку? Доказательство теорем и упрощение программ. Шанди и кость. Изменение пространства задачи. Снова режим I и режим М. ИИ в применении к математике. В сердце ИИ: представление знаний. ДНК и белки дают некоторую перспективу. Модульность знания. Представление знания с помощью логического формализма. Осознание дедуктивное и осознание аналогическое. От компьютерных хайку — к грамматике СРП. От СРП до УСП. Небольшой тест Тюринга. Представления о том, что такое мысль. Грамматики высшего уровня… Грамматика для музыки? ШРДЛУ, программа Винограда. Структура ШРДЛУ. ПЛАННЕР облегчает упрощение задач. Синтаксис и семантика. Контрафактус. ГЛАВА XIX: Искусственный Интеллект: виды на будущее. Ситуации «почти» и ситуации гипотетические. Уровни стабильности. Фреймы и вложенные контексты. Задачи Бонгарда. Предварительная обработка выбирает мини-словарь. Описания высшего уровня. Эталоны и детектор сходства. Гетерархическая программа. Сеть понятий. Переход и пробность. Мета-описания. Важность гибкости. Фокусирование и фильтрование. Наука и мир задач Бонгарда. Связи с другими типами мысли. Языки, рамки и символы, передающие сообщения. Энзимы и ИИ. Расщепление и синтез. Эпигенез «Крабьего канона». Концептуальные скелеты и концептуальное отображение. Рекомбинация идей. Абстракции, скелеты и аналогии. Множественные представления. Порты доступа. Форсированное соответствие. Повторение. Творческие способности и случай. Обнаружение повторяющихся структур на всех уровнях. Гибкость языка. Интеллект и эмоции. Перед ИИ лежит долгий путь. Десять вопросов и возможных ответов. Канон Ленивца. ГЛАВА XX: Странные Петли или Запутанные Иерархии. Могут ли машины быть оригинальными? Любая запутанная иерархия основана на неизменном уровне. Модифицирующаяся игра. Снова авторский треугольник. Эшеровы «Рисующие руки». Мозг и разум: переплетение нейронов, лежащее в основе переплетения символов. Странные Петли в правительстве. Путаница, касающаяся науки и мистики. Природа очевидного. Самовосприятие. Теорема Гёделя и другие дисциплины. Интроспекция и душевные заболевания: проблема типа Гёделевой. Можем ли мы понять собственный разум или мозг? Теорема Гёделя и личное несуществование. Наука и дуализм. Символ и объект в современной музыке и живописи. Семантические иллюзии Магритта. Код современного искусства. Еще раз об изме. Понимание разума. Случайная необъяснимость разума? Неразрешимость неотделима от точки зрения высшего уровня. Сознание как явление высшего уровня. Странные Петли в сердце разума. Символ самого себя и свободная воля. Водоворот Гёделя, где скрещиваются все уровни. Водоворот Эшера, где скрещиваются все уровни. Водоворот Баха, где скрещиваются все уровни. Шестиголосный Ричеркар. Библиография. Комментарии. 1. 2. Примечания. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90. 91.