Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс.

Примеры решения задач.

1. Определите вид треугольника (остроугольный, тупоугольный или прямоугольный) со сторонами 8, 6 и 11 см (рис. 126). (1).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 126.

Решение. Обозначим больший угол треугольника через ?. Очевидно, что он лежит напротив стороны в 11 см, так как в треугольнике больший угол лежит против большей стороны. По теореме косинусов 112= 82+ 62– 2?8?6?cos ?;

Cos ? = -7/32 < 0, значит, угол ? – тупой.

Можно было рассуждать и по-другому. Если бы угол ? был равен 90°, то большая сторона по теореме Пифагора равнялась бы.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Удлинение стороны на 1 см автоматически увеличивает и лежащий напротив угол – он становится тупым.

Ответ: тупоугольный.

2. Основание треугольника равно 6 см, один из углов при основании равен 105°, другой – 45°. Найдите длину стороны, лежащей против угла в 45° (рис. 127). (1).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 127.

Решение. Пусть в треугольнике ABC будут АС = 6 см, ?А = 45°, ?С = 105°. Обозначим длину стороны ВС через х. Её нам и нужно найти. Воспользуемся теоремой синусов по которой:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Учитывая, что сумма углов в треугольнике равна 180°, получим:?В = 180° – ?A – ?C = 180°– 45°– 105° = 30°.

Итого.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

3. Найдите площадь треугольника со сторонами 2, ?5 и 3 (рис. 128). (1).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 128.

Решение. Можно воспользоваться формулой Герона:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

В нашем случае:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Полупериметр:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Проще решить задачу можно было бы так. По теореме косинусов:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Так как площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними, то:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: ?5.

4. В треугольнике ABC, где ?ACB = 120°, проведена медиана СМ. Найдите ее длину, если АС = 6, ВС = 4 (рис. 129). (2).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 129.

Решение. Воспользуемся формулой длины медианы.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

У нас а = ВС = 4, b = АС = 6. Осталось найти с = АВ. Применим к треугольнику АСВ теорему косинусов: с2= АВ2= АС2+ ВС2– 2AC ? BC ? cos(?АСВ) = 62+ 42– 2 ? 6 ? 4 ? cos 120° = 36 + 16–48?(-1/2) = 76.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: ?7.

5. Найдите длины сторон АВ и АС остроугольного треугольника ABC, если ВС = 8, а длины высот, опущенных на стороны АС и ВС, равны 6, 4 и 4 соответственно (рис. 130). (2).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 130.

Решение. Единственный угол треугольника, который остался «нетронутым», угол С.

Из прямоугольного треугольника ВМС следует:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Тогда.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Из ?АКС:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

А теперь по теореме косинусов, применённой к треугольнику ABC, получаем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: AB = ?41; AC = 5.

6. В треугольнике, один из углов которого равен разности двух других, длина меньшей стороны равна 1, а сумма площадей квадратов, построенных на двух других сторонах, в два раза больше площади описанного около треугольника круга. Найти длину большей стороны треугольника (рис. 131). (2).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 131.

Решение: Обозначим через ? наименьший угол в треугольнике и через ? наибольший угол. Тогда третий угол равен ? – ? – ?. По условию задачи ? – ? = ? – ? – ? (больший угол не может равняться разности двух других углов). Отсюда следует, что 2? = ?; ? = ?/2. Значит, треугольник прямоугольный. Катет ВС, лежащий против меньшего угла ?, равен по условию 1, значит, второй катет АВ равен ctg?, а гипотенуза АС равна 1/sin ?. Поэтому сумма площадей квадратов, построенных на гипотенузе и большем катете, равна:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, и её радиус равен:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

А площадь равна:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Пользуясь условием задачи, имеем уравнение:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Откуда.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Длина большей стороны треугольника равна.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

7. Длины сторон а, b, с треугольника равны 2, 3 и 4. Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей. (2).

Решение. Для решения задачи даже чертеж не нужен. Последовательно находим: полупериметр.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 классГеометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 классГеометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Расстояние между центрами окружностей:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

8. В треугольнике ABC величина угла ВАС равна ?/3, длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, равна ?3 см, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5 см. Найти длины сторон треугольника ABC (рис. 132). (3).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 132.

Решение: Пусть CD – высота треугольника ABC, опущенная из вершины С. Возможны три случая. Основание D высоты CD попадает:

1) на отрезок АВ;

2) на продолжение отрезка АВ за точку В;

3) в точку В.

По условию радиус R окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5 см. Следовательно, во всех трех случаях:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Теперь ясно, что точка D не совпадает с точкой В, так как ВС ? CD. Применяя теорему Пифагора к треугольникам ACD и BCD, находим, что.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Отсюда следует, что точка D лежит между точками А и В, но тогда АВ = AD + BD (1 + 6?2) см.

Ответ: АВ = (6?2 + 1) см, ВС = 5?3 см, АС = 2 см.

9. В треугольниках ABC и A1B1C1 длина стороны АВ равна длине стороны А1В1, длина стороны АС равна длине стороны А1С1, величина угла ВАС равна 60° и величина угла В1А1С1 равна 120°. Известно, что отношение длины В1С1 к длине ВС равно ?n (где n – целое число). Найти отношение длины АВ к длине АС. При каких значениях n задача имеет хотя бы одно решение (рис. 133)? (3).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 133.

Решение: Пусть ABC и A1B1C1 – данные в условии задачи треугольники. Применяя теорему косинусов к треугольникам ABC и А1В1С1, имеем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Т. к. по условию задачи В1С1 :ВС = ?n, то.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Поскольку А1В1 = АВ и А1С1 = АС, то, разделив числитель и знаменатель дроби в левой части равенства (1) на АС2и обозначив АВ: АС через х, получим равенство:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Откуда ясно, что искомое отношение длины АВ к длине АС есть корень уравнения.

Х2(n – 1) – х(n + 1) + n – 1 = 0. (2).

Т. к. В1С1 > ВС, то n > 1. Следовательно, уравнение (2) является квадратным. Его дискриминант равен (n + 1)2– 4(n – 1)2= – 3n2+ 10n – 3.

Уравнение (2) будет иметь решения, если – 3n2+ 10n – 3 ? 0, т. е. при -1/3 ? n ? 3. Т. к. n – натуральное число, большее 1, то уравнение (2) имеет решения при n = 2 и n = 3. При n = 3 уравнение (2) имеет корень х = 1; при n = 2 уравнение имеет корни.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: отношение длины АВ к длине АС равно.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

При n = 2; равно 1 при n = 3; при остальных n решений нет.