ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда.

Пять постулатов Пеано.

Интерпретация первой аксиомы — «Нуль не следует ни за каким натуральным числом» — это одно из пяти знаменитых свойств натуральных чисел, впервые выраженных математиком и логиком Джузеппе Пеано в 1889 году. Излагая свои постулаты, Пеано следовал за Эвклидом в том смысле, что он не пытался формализовать принципы логических рассуждений. Вместо этого он хотел дать небольшой набор свойств натуральных чисел, из которого можно было бы вывести все остальные путем логических рассуждений. Таким образом, попытка Пеано может быть названа «полуформальной.» Работа Пеано оказала на математиков большое влияние, поэтому я приведу здесь его постулаты. Поскольку Пеано пытался определить именно «натуральное число», мы не будем использовать знакомый и вызывающий ассоциации термин «натуральное число» — вместо него мы будем пользоваться неопределенным термином гений — словом свежим и свободным от математических ассоциаций. Итак, пять постулатов Пеано устанавливают пять ограничений для гениев. Другие неопределенные термины, которыми мы будем пользоваться — джинн и мета. Читатель может догадаться сам, какие знакомые понятия скрываются за этими двумя терминами. Далее следуют пять постулатов Пеано:

(1) Джинн — это Гений.

(2) Каждый Гений имеет мету (которая тоже является Гением).

(3) Джинн не является метой никакого Гения.

(4) Различные Гении имеют различные меты.

(5) Если джинн имеет X и каждый Гений передает X своей мете, тогда все Гении получают X.

В свете ламп «Маленького гармонического лабиринта» мы должны наименовать множество всех Гениев «БОГом». Это напоминает нам о знаменитом высказывании немецкого математика и логика Леопольда Кроникера, архиврага Георга Кантора: «Бог сотворил натуральные числа; все остальное — работа человека.».

Вы можете узнать в пятом постулате Пеано принцип математической индукции — другой термин для «наследственного» доказательства. Пеано надеялся, что его ограничения понятий «джинна», «Гения» и «меты» были так сильны, что эти понятия были бы идентичны для всех людей и формировали бы у них в сознании совершенно изоморфные структуры. Например, для любого человека существовало бы бесконечное число различных Гениев. И, предположительно, каждый согласился бы с тем, что ни один Гений не совпадает со своей метой или мета-метой… и т. д.

В своих пяти постулатах Пеано хотел выразить сущность натуральных чисел. Математики обычно считают, что ему это удалось; однако это не уменьшает важности вопроса «каким образом можно отличить истинное высказывание о натуральных числах от ложного?» Ответа на этот вопрос математики ищут в формальных системах, подобных ТТЧ. Вы найдете в ТТЧ влияние Пеано, поскольку все его постулаты так или иначе вошли в эту систему.