ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда.

Возможность множественных интерпретаций.

Полная формализация геометрии означала бы, что каждый термин превратился бы в неопределяемое понятие, то есть стал бы «бессмысленным» символом какой-либо формальной системы. Я заключил слово «бессмысленный» в кавычки, поскольку, как вы знаете, символы автоматически приобретают различные пассивные значения, зависящие от теорем, в которых эти символы встречаются. Однако обнаружат ли люди эти значения — это уже другой вопрос, так как для этого необходимо найти такое множество понятий, которое может быть связано изоморфизмом с символами данной формальной системы. По идее, желая формализовать геометрию, мы обычно уже имеем в виду определенную интерпретацию для каждого символа, так что пассивные значения оказываются уже встроенными в систему. Именно это я и сделал с символами p и r, когда придумывал систему pr.

Но ведь могут существовать и другие пассивные значения, которые, в принципе, возможно подметить — только до сих пор еще никто этого не сделал! Например, первоначальная система pr допускала довольно неожиданную интерпретацию r как «равняется» и p как «отнятое от». Хотя это довольно тривиальный пример, он неплохо передает суть идеи о том, что символы могут иметь множество значимых интерпретаций; искать их — дело наблюдателя!…

Все, что мы до сих сказали, может быть сведено к понятию «непротиворечивости». Мы начали с введения формальной системы, которая, на первый взгляд, не только находилась в противоречии с внешним миром, но и имела внутренние противоречия. Однако через несколько минут нам пришлось взять эти «обвинения» обратно и признать свою ошибку; оказывается, дело было в том, что мы выбрали неудачную интерпретацию для символов системы. Изменив интерпретацию, мы вернули системе ее непротиворечивость! Становится ясно, что непротиворечивость — не свойство формальных систем как таковых, но зависит от интерпретации, предложенной для данной системы. Совершенно так же не является свойством формальных систем как таковых и противоречивость.