ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда.

Бумеранг — Гёделева нумерация ТТЧ.

Разумеется, это еще не конец; мы только начали открывать возможности Гёделева изоморфизма. Естественным трюком было бы использовать возможность ТТЧ отображать другие формальные системы на себя саму, на манер того, как Черепаха повернула патефоны Краба против их самих, или как Бокал Г атаковал сам себя, разбившись. Чтобы это сделать, мы должны приложить Гёделеву нумерацию к самой ТТЧ, так же, как мы это сделали с системой MIU, и затем «арифметизировать» правила вывода. Это совсем нетрудно. Например, мы можем установить следующее соответствие:

Символ    Кодон   Мнемоническое обоснование.

0 .......   666       Число Зверя для Таинственного Нуля.

S .......   123       последовательность: 1, 2, З…

= .......   111       Зрительное сходство, в повернутом виде + ....... 112  1+1=2.

* .......   236        2*3=6.

( .......   362        Кончается на 2 \

) .......   323        Кончается на 3  |   эти.

< .......   212       Кончается на 2  |   три пары.

> .......   213       Кончается на 3  |   формируют.

[ .......   312        Кончается на 2  |   схему.

] .......   313        Кончается на 3 /

А .......   262       противоположно A (626).

' .......    163       163-Простое число.

Λ ......    161       «Λ»-«График» последовательности 1-6-1".

V ......    616       «V»-«график» последовательности 6-1-6.

Э ......    633       в некотором роде, из 6 следуют 3 и 3.

~ .......   223       2+2 не 3.

E .......   333       «E» выглядит как «3».

A .......   626       противоположно «A»- также «график» 6-2-6.

: .......   636        Две точки, две шестерки.

Пунк ....  611       особенное число (именно потому, что в нем нет ничего особенного).

Каждый символ ТТЧ соотнесен с трехзначным числом, составленным из цифр 1, 2, 3 и 6 таким образом, чтобы его было легче запомнить. Каждое такое трехзначное число я буду называть Геделев кодоном, или, для краткости, кодоном. Заметьте, что для b. с, d или е кодонов не дано, поскольку мы используем здесь строгую версию ТТЧ. Для этого есть причина, которую вы узнаете в главе XVI. Последняя строчка, «пунктуация», будет объяснена в главе XIV.

Теперь мы можем представить любую строчку или правило ТТЧ в новом наряде. Вот, например, Аксиома 1 в двух нотациях, новая над старой:

626, 262, 636, 223, 123, 262, 111, 666.

. A      a      :      ~     S     a     =      0.

Обычная условность — использование пунктуации после каждых трех цифр — очень кстати совпала с нашими кодонами, облегчая их чтение.

Вот Правило Отделения в новой записи:

ПРАВИЛО: Если x и 212x633y213 являются теоремами, то у - также теорема.

Наконец, вот целая деривация, взятая из предыдущей главы; она дана в строгой версии ТТЧ и записана в новой нотации:

626,262,636,626.262,163,636,362,262,112,123,262,163,323,111,123,362,262,112,262,163,323 Аксиома 3.

. A    a     :     A     a     '     :     (     a    +     S    a     '     )   =    S    (     a     +    a      '    ).

626,262,163,636,362,123,666,112,123,262,163,323,111,123,362,123,666,112,262,163,323 Спецификация.

. A    a     '     :     (     S    0     +    S    a     '      )    =    S     (     S    0     +    a     '     ).

362,123,666,112,123,666,323,111,123,362,123,666,112,666,323 Спецификация.

. (     S    0     +    S    0      )    =    S     (     S    0    +     0    ).

626,262,636,362,262,112,666,323.111.262 Аксиома 2.

.  A    а    :     (     а    +    0     )     =    а.

362,123,666,112,666,323,111,123,666  Спецификация.

. (     S     0    +    0     )     =    S    0.

123,362,123,666.112,666,323,111,123,123,666  Добавить «123».

.  S   (      S    0     +    0    )     =     S    S    0.

362,123,666,112,123,666,323,111,123,123,666  Транзитивность.

.  (    S    0     +    S     0     )    =     S    S    0.

Обратите внимание, что я изменил название правила «добавить S» на «добавить 123», поскольку данное правило узаконивает именно эту типографскую операцию.

Новая нотация кажется весьма странной. Вы теряете всякое ощущение значения; однако, если потренироваться, вы сможете читать строчки в этой нотации так же легко, как вы читали строчки ТТЧ. Вы сможете отличать правильно сформированные формулы от неправильных с первого взгляда. Естественно, поскольку это настолько наглядно, вы будете думать об этом, как о типографской операции — но в то же время выбор правильно сформированных формул в этой нотации эквивалентен выбору определенного класса чисел, у которых есть также арифметическое определение.

А как же насчет «арифметизации» всех правил вывода? Они все еще остаются типографскими. Но погодите минутку! Согласно Центральному Предложению, типографское правило — все равно, что арифметическое правило. Ввод и перестановка цифр в числах десятичной записи — это арифметическая операция, которая может быть осуществлена типографским путем. Подобно тому, как добавление «О» справа от числа эквивалентно умножению этого числа на 10, каждое правило представляет собой компактное описание длинного и сложного арифметического действия. Таким образом, нам не придется искать эквивалентных арифметических правил, поскольку все правила уже арифметические!