ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда.

Напряжение и разрешение в ТТЧ.

ТТЧ доказала коммутативность сложения. Даже если вы не следили за всеми деталями этой деривации, важно понять, что, так же как и музыкальная пьеса, она имеет свой собственный естественный «ритм». Это вовсе не случайная про гулка, во время которой мы вдруг наткнулись на нужную строчку. Я ввел «паузы для дыхания», чтобы показать «артикуляцию» этой деривации. В частности, строчка 28 является переломным моментом в деривации — что-то вроде середины в пьесе типа ААББ, где происходит временное разрешение, хотя и не в ключевую тональность. Подобные важные промежуточные моменты часто называют «леммами».

Легко вообразить себе читателя, который начинает со строки 1 этой деривации, не зная, где он закончит, и постепенно, с каждой новой строкой, понимающего, куда он направляется. Это порождает внутреннее напряжение, очень похожее на то, которое порождает в музыке прогрессия аккордов, указывающая на тонику, но не разрешающаяся в нее. Прибытие к строке 28 подтверждает интуицию читателя и дает ему некое чувство удовлетворения; в то же время, это усиливает его желание дойти до предполагаемой конечной цели.

Строчка 49 — критически важный увеличитель напряжения, поскольку она вызывает ощущение «почти у цели». Прервать деривацию в этот момент было бы очень неприятно. С этого момента мы уже почти можем предсказать развитие событий. Однако вам не хотелось бы прервать музыкальную пьесу в том момент, когда вам уже очевидно, как она разрешится. Вам не хотелось бы воображать финал — вам хотелось бы его услышать. Так же и здесь, мы должны закончить деривацию. Строка 55 Неизбежна и производит максимальное финальное напряжение, которое затем разрешается в строке 56.

Это типично не только для структуры формальных дериваций, но и для неформальных доказательств. Чувство напряжения, возникающее у математиков, тесно связано с восприятием красоты; это делает математику интересным и стоящим занятием. Обратите внимание, однако, что в самой ТТЧ это напряжение, по-видимому, не отражается. Иными словами, понятия напряжения и раз решения, цели и временной цели, «естественности» и «неизбежности» не формализованы в ТТЧ подобно тому, как музыкальная пьеса не является книгой о гармонии и ритме. Возможно ли создать более сложную формальную систему, которая осознавала бы напряжение и цель внутри дериваций?