ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда.

Последняя соломинка.

Если вы снова перелистаете «Арию в ключе G», то увидите, что последний трюк, необходимый для получения автореференции по Квайну, заключается в том, чтобы квайнировать высказывание, само говорящее о квайнировании. Одного квайнирования оказывается недостаточно — вы должны квайнировать предложение о квайнировании! Нам придется использовать параллельный трюк и арифмоквайнировать формулу, саму упоминающую квайнирование. Давайте запишем эту формулу; назовем ее дядей G.

~Еа:Еа':<ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-

ТТЧ{a,a'}Λ ARITHMOQUINE{a",a'}>

Легко увидеть, насколько здесь замешано арифмоквайнирование. У этого «дяди», разумеется, есть Гёделев номер — мы будем называть его d. Начало и конец d и даже кое-какие фрагменты его середины мы можем прочитать без труда:

d = 223,333,262,636,333,262,163,636,212..... 161,.... 213.

Для остального нам только нужно знать, как выглядят в записи формулы ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ и ARITHMOQUINE. Приводить здесь эту запись слишком сложно, да и не нужно.

Теперь осталась самая малость — нужно арифмоквайнировать самого дядю! Для этого надо избавиться от свободных переменных, которых у нас только одна — а'' — и заменить их на символ числа d. Мы получим:

~Ea:Ea':<ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ{a,a'}.

ΛARITHMOQUINE{SS…SSS0/a'',a'}>

.                       |___|

.                       d «S».

Именно это и есть Гёделева строчка, которую мы называем «G». Теперь у нас возникают два вопроса, на которые необходимо ответить без промедления. Вот они:

(1) Каков Гёделев номер G?

(2) Какова интерпретация G?

Сначала ответим на первый вопрос. Как мы получили G? Мы начали с дяди и арифмоквайнировали его, так что, по определению арифмоквайнирования, Гёделев номер G — это:

Арифмоквайнификация d.

Теперь второй вопрос. Постараемся перевести G на русский постепенно, шаг за шагом проясняя значение этой строчки. Нашей первой попыткой будет дословный перевод:

«Не существует чисел а и а' таких, что они оба:

(1) Составляют пару доказательства ТТЧ и.

(2) А' является арифмоквайнификацией d».

Мы знаем, однако, что существует число а', являющееся арифмоквайнификацией d. Следовательно, дело в другом числе, в а. Это позволяет нам перефразировать наш перевод:

«Не существует такого числа а, которое составляло бы пару доказательства ТТЧ с арифмоквайнификацией d».

(Этот шаг может быть немного сложным для понимания; ниже мы остановимся на нем подробнее.) Видите ли вы, что происходит? G утверждает, что:

«Формула, чей Гёделев номер — арифмоквайнификация d, не является теоремой ТТЧ».

Но — и это уже не должно нас удивлять — эта формула не что иное, как сама строчка G! Следовательно, нашим окончательным переводом будет:

«G — не теорема ТТЧ»;

Или, если вам так больше нравится —

«Я — не теорема ТТЧ».

Начав с интерпретации на низшем уровне — суждения теории чисел, мы постепенно дошли до интерпретации на высшем уровне — суждения мета-ТТЧ.