ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда.

Доказательство Эвклида.

Дело в том, что этот факт следует из неких рассуждений. Давайте проследим за этими рассуждениями. Рассмотрим вариант доказательства Эвклида, показывающий, что какое бы число мы ни взяли, всегда найдется большее простое число. Возьмем число N. Перемножим все положительные целые числа, начиная с 1 и кончая N; иными словами, найдем факториал N (он пишется «N!») Полученный результат делится на все числа, меньшие чем N. Если прибавить 1 к N!, то результат.

Не будет делиться на 2 (так как при делении на 2 получится 1 в остатке);

Не будет делиться на 3 (так как при делении на 3 получится 1 в остатке);

Не будет делиться на 4 (так как при делении на 4 получится 1 в остатке);

.

.

.

Не будет делиться на N (так как при делении на N получится 1 в остатке);

Другими словами, если N!+1 и делимо на какое-то число, кроме самого себя и единицы, оно делимо только на числа, большие, чем N. Следовательно, либо N!+1 само простое число, либо его простые делители больше N. В любом случае, мы показали, что должно существовать простое число, большее N, и что, следовательно, количество простых чисел бесконечно.

Кстати, этот последний шаг называется обобщением; мы еще встретимся с этим понятием в более сложном контексте. Оно заключается в том, что, начав наши рассуждения с какого-либо числа N, мы указываем, что N может быть любым числом — следовательно, наше доказательство носит общий характер.

Эвклидово доказательство типично для так называемой «реальной математики». Оно просто, точно и изящно и иллюстрирует тот факт, что несколько коротких шагов могут увести нас весьма далеко от начального пункта. В нашем случае, таким начальным пунктом являлись основные идеи о свойствах умножения, деления, и так далее. Короткие шаги — это этапы рассуждения. Хотя каждый отдельный шаг кажется очевидным, конечный результат таковым не является. Нам никогда не удастся проверить, верно ли это утверждение Эвклида; однако мы верим в его истинность, поскольку мы верим в логические рассуждения. Если вы принимаете эти рассуждения, вам не остается выхода; раз вы согласились выслушать Эвклида, вам придется согласиться с его выводом. Этот отрадный факт означает, что математики всегда могут придти к согласию по поводу того, какие утверждения считать «истинными», а какие — «ложными».

Это доказательство — пример упорядоченного процесса мысли. Каждое утверждение соотносится с предыдущим неоспоримым образом; именно поэтому мы говорим скорее о «доказательстве», чем об «очевидном свидетельстве». Целью математики всегда являлось нахождение строгого доказательства какого-либо неочевидного утверждения. Сам факт строгого соотношения шагов доказательства указывает на то, что должна существовать определенная схема, связывающая эти утверждения в одно логическое целое. Об этой схеме лучше всего рассуждать при помощи специального нового лексикона, состоящего из символов, годных только для описания утверждений о числах. Таким образом, мы сможем рассмотреть версию доказательства в «переводе». Это будет набор утверждений, строго соотносящихся между собой; причем эти отношения всегда можно описать. Утверждения, поскольку они записаны компактными, стилизованными символами, выглядят как определенные структуры. Другими словами, при прочтении вслух мы видим, что эти утверждения говорят о числах и их свойствах; записанные же на бумаге, они выглядят как абстрактные структуры. Таким образом, последовательно, строка за строкой прочитанная схема доказательства начинает казаться постепенной трансформацией структур по определенным типографским правилам.